题目

（08年永定一中二模理）（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.（1）求证：平面；    　 （2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 答案：解析：解法一：（1）证明：∵底面为正方形，      ∴，又，      ∴平面，∴.      …………………………………………………………………2分同理，   …………………………………………………………………3分又.∴平面．  ……………………………………………………………4分（2）解：设为中点，连结，      又为中点，可得，从而底面．过 作的垂线，垂足为,连结．      由三垂线定理有，∴为二面角的平面角.     ………………………………6分在中，可求得    ∴．                  …………………………………7分∴ 二面角的大小为．   …………………………………8分（3）解：由为中点可知,要使得点到平面的距离为，即要点到平面的距离为.       过 作的垂线，垂足为,∵平面，∴平面平面，∴平面，即为点到平面的距离.∴，∴．                 ………………………………………………11分设，由与相似可得，∴，即．∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．……………………12分解法二：（1）证明：同解法一． （2）解：建立如图的空间直角坐标系，   ……………………………………5分则.          设为平面的一个法向量，则， ．又 令则得．  …………………………………………………………………6分又是平面的一个法向量，……………………………………7分设二面角的大小为 ，则． ∴ 二面角的大小为．     ………………………………8分（3）解：设为平面的一个法向量，则，．又，       令则得． …………………………………………………………………10分又∴点到平面的距离，∴，解得，即 .∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．……12分

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