题目

已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E,交BC于点D．（1）求证：直线AB是⊙E的切线；（2）设直线AB和⊙E的公共点为G，AC=8，EF=5，连接EG，求⊙E的半径r．答案：解：（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA；∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，∴∠FEA=∠FAE．∴∠FAE=∠EAC．∴AE为角平分线．∴EG=EC．∴直线AB是⊙E的切线．（2）由（1）可知，直线AB与⊙O的公共点G为切点， ∴EG=r，EG⊥AB． ∵∠ACB=90°，EC长为半径， ∴AC是⊙E的切线．∴AG=AC=8．∵EF=AF，EF=5，∴AF=5．∴FG=AG-AF=8-5=3，在Rt△EFG中，根据勾股定理，得：,∴⊙E的半径r=4．

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