题目

如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）求四面体PBFC的体积； （Ⅱ）证明：AE∥平面PFC； （Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD． 答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到； （II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论； （III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论． 【解答】（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点， ∴△BFC的面积为 ． ∵PA⊥平面ABCD， ∴四面体PBFC的体积为=． （Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ． 由正（主）视图可得 E为PD的中点， ∴EQ∥CD，． 又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ． ∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ． ∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC， ∴直线AE∥平面PFC． （Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． ∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD． ∴CD⊥平面PAD． ∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE． ∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD． ∴AE⊥平面PCD． ∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD． ∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD． 【点评】正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．

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