题目

已知椭圆C：的离心率 e=，且经过点（0，3），左右焦点分别为F1，F2， （1）求椭圆C的方程； （2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF2的面积S的最大值，并求出S取最大值时直线l的方程． 　 答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用椭圆C的离心率，且椭圆经过点（0，3）建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程； （2）由椭圆方程可得左、右两个焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0）．设直线l的方程为my=x+4．与椭圆方程联立消去x可得根与系数的关系，利用△ABF2面积S=|F1F2||y1﹣y2|，可得关于m的表达式，再利用基本不等式即可得出． 【解答】解：（1）椭圆的焦点在x轴上， ∵椭圆过点A（0，3），离心率e=， ∴=1，=， ∵c2=a2﹣b2． ∴a2=25，b2=9， ∴椭圆方程为+=1． （2）由椭圆方程可得a2=25，b2=9，c=4， 左、右两个焦点分别为F1（﹣4，0），F2（4，0）． 设直线l的方程为my=x+4，代入椭圆方程整理可得：（25+9m2）y2﹣72my﹣81=0． ∴y1+y2=，y1y2=﹣． ∴|y1﹣y2|===90． ∴△ABF2面积S=|F1F2||y1﹣y2|=×8×90=360， 令t=1+m2（t≥1），则S=360=360， 由81t+≥2=288，当且仅当t=取得等号． △ABF2面积S取得最大值360×=15． 即当m=±时，△ABF2面积S取得最大15． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，注意运用椭圆的定义和转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

查看本题答案和解析