题目

已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列． (1) 若a5＝b5，q＝3，求数列{an·bn}的前n项和； (2) 若存在正整数k(k≥2)，使得ak＝bk.试比较an与bn的大小，并说明理由． 答案： 解： (1) 依题意，a5＝b5＝b1q5－1＝1×34＝81， 故d＝＝20， 所以an＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分) 令Sn＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n－19)·3n－1，① 则3Sn＝1×3＋21×32＋…＋(20n－39)·3n－1＋(20n－19)·3n，　② ①－②，得－2Sn＝1＋20×(3＋32＋…＋3n－1)－(20n－19)·3n＝1＋20×－(20n－19)·3n ＝(29－20n)·3n－29， 所以Sn＝ (2) 因为ak＝bk， 所以1＋(k－1)d＝qk－1，即d＝， 故an＝1＋(n－1) . 又bn＝qn－1，(9分) 所以bn－an＝qn－1－ ＝ [(k－1)(qn－1－1)－(n－1)(qk－1－1)] ＝ [(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]．(11分) (ⅰ) 当1＜n＜k时，由q＞1知 bn－an＝ [(k－n)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋qn－1)] ＜ [(k－n)(n－1)qn－2－(n－1)(k－n)qn－1] ＝－ ＜0；(13分) (ⅱ)当n＞k时，由q＞1知 bn－an＝ [(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋qk－1)－(n－k)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)] ＞ [(k－1)(n－k)qk－1－(n－k)(k－1)qk－2] ＝(q－1)2qk－2(n－k) ＞0，(15分) 综上所述，当1＜n＜k时，an＜bn；当n＞k时，an＞bn；当n＝1，k时，an＝bn.(16分)

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