题目

（08年长郡中学二模理）（12分） 如图，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.    （Ⅰ）求与平面A1C1CA所成角的大小；    （Ⅱ）求二面角B―A1D―A的大小；    （Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A1BD.  答案：解析：（Ⅰ）连接A1C.∵A1B1C1－ABC为直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC.    ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分    ∴为与平面A1C1CA所成角，.∴与平面A1C1CA所成角为.…………4分（Ⅱ）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM，    ∵BC⊥平面ACC­1A1，∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影，    ∴BM⊥A1G，∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角，     平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，.     即二面角B―A1D―A的大小为.……………………8分（Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A1BD. 证明如下：∵A1B1C1―ABC为直三棱柱，∴B1C1//BC，∵由（Ⅰ）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA， ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，当F为AC的中点时，C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D.同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD.……………………12分

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