题目

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），两个焦点分别为Ｆ1和Ｆ2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B.(1)若｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围;(2)若k=,A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程. 答案：解：(1)设右焦点F2（c,0）,则l:y=k(x-c).     令x=0,则y=-ck,    ∴P（0，-ck）.    ∵B为F2P的中点，∴B(,-).    ∵B在椭圆上，    ∴+=1.    ∴k2=·=（-1）（4-e2）    =+e2-5.    ∵｜k｜≤，    ∴+e2-5≤.    ∴（5e2-4）（e2-5）≤0.    ∴≤e2＜1.    ∴≤e＜1．(2)k=，∴e=.    ∴=.    ∴a2=c2，b2=C2.椭圆方程为+=1，    即x2+5y2=c2．    直线l方程为y=(x-c),    B(,-c),右准线为x=c.    设A（x0，y0），则    （c-x0）+（c-）=，    ∴x0=2c-,    y0=（c-）.    ∵A在椭圆上，    ∴（2c-）2+5［（c-）］2=c2.    解之,得c=2或c=(不合题意，舍去).    ∴椭圆方程为x2+5y2=5，即+y2=1．

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