题目

（本小题满分12分） （Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；       2由推导两角和的正弦公式. （Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC. 答案：本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。 解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))   由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]            ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)            ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 (2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝bcsinA＝ ＝bccosA＝3＞0  ∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝ 由题意，cosB＝,得sinB＝ ∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝  故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分

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