题目

（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥． （Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值， 并求出这个值； （Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）同解析（Ⅱ）截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．（Ⅲ）． 解析:解法一： （Ⅰ）证明：在正方体中，，， 又由已知可得 ，，， 所以，， 所以平面． 所以平面和平面互相垂直．  4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是 ，是定值．    8分 （Ⅲ）解：设交于点，连结， 因为平面， 所以为与平面所成的角． 因为，所以分别为，，，的中点． 可知，． 所以．   12分 解法二： 以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故 ，，，， ，，， ，，． （Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得 ， ， ． 因为，所以是平面PQEF的法向量． 因为，所以是平面PQGH的法向量． 因为，所以， 所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．  4分 （Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形． 在所建立的坐标系中可求得，， 所以，又， 所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量． 由为中点可知，分别为，，的中点． 所以，，因此与平面所成角的正弦值等于 ． 12分

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