题目

已知椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线为，与轴相交于点，且是的中点． （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆相交于两点，都在轴上方，并且在之间，且． ①记的面积分别为，求； ②若原点到直线的距离为，求椭圆方程． 答案：（1）因为是的中点，所以，即，又、，所以，所以；······················2分 （2）①解法一：过作直线的垂线，垂足分别为，依题意，，··········4分 又，故，故是的中点，∴，·······················6分 又是中点，∴，∴；·······················8分 解法二：∵，∴，椭圆方程为，，， 设，，点在椭圆上，即有， ∴ 同理，··········4分 又，故得是的中点，∴，······················6分 又是中点，∴，∴；······················8分 ②解法一：设，则椭圆方程为， 由①知是的中点，不妨设，则， 又都在椭圆上，即有即 两式相减得，解得，可得，·······················10分 故直线的斜率为， 直线的方程为，即·······················12分 原点到直线的距离为， 依题意，解得，故椭圆方程为．······················16分 解法二：设，则椭圆方程为， 由①知是的中点，故， 直线的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为，与椭圆联立，并消去得：，整理得，（*） 设，，依题意 由解得 ·······················10分 所以，解之得，即． 直线的方程为，即·······················12分 原点到直线的距离为， 依题意，解得，故椭圆方程为．·····················16分

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