题目

抛物线 C 的顶点为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上，直线 L ： x = 1 交 C 于 P ， Q 两点 , 且 OP 丄 OQ. 已知点 M （ 2,0 ） , 且 M 与 L 相切， （1） 求 C , M 的方程； （2） 设 A 1 ,A 2 ,A 3 , 是 C 上的三个点 , 直线 A 1 A 2 , A 1 A 3 均与 M 相切，判断 A 2 A 3 与 M 的位置关系，并说明理由 . 答案： （ 1）由题可得，C： ， p＞0，点P（1， ， Q（1， ） 因为 OP⊥OQ，所以1-2P=0，2P=1，所以抛物线C为： M（2，0），L：x=1且圆M与L相切，所以圆M的方程为： （ 2）设A1（ ）， A2（ ）， A3（ ） 由抛物线及圆 M对称性，不妨设 y 1 ＞ 0 ①若A1A2，A1A3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A1A2 则： A1（3， ）， A2（3，- ），设 A1A3：y- =k（x-3） 即 kx-y-3k+ =0 因为 A1A3与圆M相切，所以 解得： k= 即 所以 ，即 A3（0，0） 此时，直线 A2A3与A1A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切。 ②若A1A2，A1A3斜率均存在，则 且， 直线 A1A2：y- y 1 = ，即 x-( y 2 +y 1 )y+y 2 y 1 =0 同设 A1A3：x-( y 3 +y 1 )y+ y 3 y 1 =0，直线A2A3：x-( y 2 +y 3 )y+y 2 y 3 =0 因为直线 A1A2，A1A3均与圆M相切， 所以， ，即： 所以 y 2 、 y 3 关于 y的方程： (2+yy 1 ） 2 =1+(y 1 +y) 2 即 (y 1 2 -1)y 2 +2yy 1 +3-y 1 2 =0的两个根 所以： ， 设 M到直线A2A3距离为d 则 d 2 = 所以直线 A2A3与圆M相切

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