题目

（本题满分15分） 已知曲线C上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1． 求曲线C的方程；过点F的直线l与曲线C交于A、B两点．（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：；（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有？证明你的结论． 答案：(Ⅰ)     (Ⅱ)  （ⅰ）略（ⅱ） 解析:（1）依题意有，由显然， 得，化简得；      （2）（ⅰ） 设AB：y=kx+1, ，   ，     抛物线方程为  所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是，  ， 即     10分 （ⅱ）设点，此时， 由（ⅰ）可知 故对一切k恒成立 即： 故当，即时，使得无论AB怎样运动，都有 15分

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