题目

(本题满分15分)如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值． 答案：满分15分。 （Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形． 因为为的中点，所以． 又，因此． 因为平面，平面，所以． 而平面，平面且， 所以平面．又平面， 所以．　…………………………………7分 （Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接． 由（Ⅰ）知平面， 则为与平面所成的角． 在中，， 所以当最短时，最大， 即当时，最大． 此时， 因此．又，所以， 所以．　 ………………………………………10分 解法一：因为平面，平面，所以平面平面． 过作于，则平面， 过作于，连接，则为二面角的平面角， 在中，，， 又是的中点，在中，， 又，在中，，即所求二面角的余弦值为．……………14分 解法二： 由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以 ， ， 所以． 设平面的一法向量为， 则因此 取，则，因为，，， 所以平面，故为平面的一法向量． 又，所以． 因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．………………14分

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