题目
如图,A、B分别是异面直线a、b上两点,自AB的中点O作平面α与a、b分别平行,M、N分别是a、b上的任意两点,MN与α交于点P.求证:P是MN的中点.
答案:【探究】 连结AN并α于Q,连结OQ、PQ,∵b∥α,OQ是过B的平面ABN与α的交线,∴b∥OQ.同理,PQ∥a.在△ABN中,O是AB的中点,OQ∥BN,∴Q是AN的中点.又∵PQ∥a,∴P是MN的中点.【规律总结】 连结AN后,形成了两个平面,即平面ABN和平面AMN,为利用直线和平面平行的性质定理创造了条件,并将空间问题转化为平面问题.直线和平面平行的性质定理,可简记为若线面平行,则线线平行.