题目

设O点为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程. 答案：解:（1）曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9，表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.∵点P,Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,∴圆心（-1，3）在直线上，代入直线方程得m=-1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P(x1,y1），Q（x2,y2)，PQ方程y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)＞0，得2-3＜b＜2+3.由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1·x2=.y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2=+4b.∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0.解得b=1∈(2-3,2+3).∴所求的直线方程为y=-x+1.

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