题目

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上． （1）当是线段的中点时，求证：平面； （2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案：（1）见解析；（2）存在． 【解析】（1）证明：连接交于点，连接， ∵四边形是菱形，∴点为的中点， 又∵为的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面．........................4分 （2）∵是菱形，，是的中点，∴， 又∵平面， 以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，  则，，，，．..................6分 假设棱上存在点，设点坐标为，， 则，∴， ∴，，........................7分 设平面的法向量为， 则，解得． 令，则，得．................................................8分 ∵平面，∴平面的法向量，.........................................9分 ∴，....................................10分 ∵二面角的大小为， ∴，即，解得，或（舍去）...........11分 ∴在棱上存在点，当时，二面角的大小为．...........12分

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