题目

   问题提出    平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆．那么平面内的四点(任意三点均不在同一 直线上），能否在同一个圆呢？    初步思考    设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．      ⑴当C、D在线段AB的同侧时，     如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是                 ； 如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB     ∠ADB； 如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB     ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）； 由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：            ．    类比学习    （2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．   此时有             ，   此时有               ， 此时有              ． 由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：    ．      拓展延伸   （3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？       已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．       求作：CN⊥AB．       作法：①连接CA，CB；             ②在上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；       ③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；       ④连接F、E并延长，交直径AB于M；       ⑤连接D、M并延长，交⊙O于N．连接CN．    则CN⊥AB． 请按上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论） 答案：（1）同弧所对的圆周角相等．   ∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．    答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．················· 4分 （2）如图： 此时∠ACB＋∠ADB＝180°, 此时∠ACB＋∠ADB＞180°, 此时∠ACB＋∠ADB＜180 若四点组成的四边形对角互补，则这四点在同一个圆上． （3）作图正确． ∵AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°． ∴点E是△ABF三条高的交点． ∴FM⊥AB． ∴∠EMB＝90°． ∠EMB＋∠EDB＝180°， ∴点E，M，B，D在同一个圆上． ∴∠EMD＝∠DBE． 又∵点N，C，B，D在⊙O上， ∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND． ∴FM∥CN． ∴∠CPB＝∠EMB＝90°． ∴CN⊥AB． （注：其他正确的说理方法参照给分．）

查看本题答案和解析