题目

（14分）如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点.（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；（2）求四面体PCEF的体积. 答案：证明：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分同理可证∠APD=45°.所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分 因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以DE//CF. 又DC⊥CF，所以              ……………………… 10分在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ//BC，PQ=BC=2a.因为BC⊥CD，BC⊥CF，所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a.                  ………………………12分           ………………………14分（注：本题亦可利用求得）

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