题目

如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）求cos∠E的值． 答案：【考点】切线的判定；勾股定理． 【专题】证明题． 【分析】（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可； （2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题． 【解答】（1）证明：如图， 方法1：连接OD、CD． ∵BC是直径， ∴CD⊥AB． ∵AC=BC． ∴D是AB的中点． ∵O为CB的中点， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴OD⊥EF． ∴EF是O的切线． 方法2：∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∵∠A+∠ADF=90° ∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°． 即∠EDO=90°， ∴OD⊥ED ∴EF是O的切线． （2）解：连BG． ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°． ∴CD==8． ∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG， ∴BG==． ∴CG==． ∵BG⊥AC，DF⊥AC， ∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG， ∴cos∠E=cos∠CBG==． 【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

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