题目

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若OA＝5，OP＝3，求CB的长； （3）设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且．若⊙O的半径为4，BP＝，求tan∠CBP． 答案：【解析】（1）证明：连接OB，如图， ∵OP⊥OA， ∴∠AOP＝90°， ∴∠A+∠APO＝90°， ∵CP＝CB， ∴∠CBP＝∠CPB， 而∠CPB＝∠APO， ∴∠APO＝∠CBP， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°， ∴OB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设BC＝x，则PC＝x， 在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3， ∵OB2+BC2＝OC2， ∴52+x2＝（x+3）2， 解得x＝， 即BC的长为； （3）解：如图，作CD⊥BP于D， ∵PC＝PB， ∴PD＝BD＝PB＝， ∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD， ∴△AOP∽△PCD， ∵， ∴， ∴， ∵OA＝4， ∴CD＝， ∴tan∠CBP＝＝2．

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