题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于 、 、 三点，其中 点坐标为 ， 点坐标为 ，连接 、 ．动点 从点 出发，在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 出发，在线段 上以每秒 1 个单位长度向点 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 ，设运动时间为 秒． （ 1 ）求 、 的值； （ 2 ）在 、 运动的过程中，当 为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多少？ （ 3 ）在线段 上方的抛物线上是否存在点 ，使 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： （ 1 ） b =2 ， c =3 ；（ 2 ） t =2 ，最小值为 4 ；（ 3 ）（ ， ） 【分析】 （ 1 ）利用待定系数法求解即可； （ 2 ）过点 P 作 PE ⊥ x 轴，垂足为 E ，利用 S 四边形 BCPQ = S △ ABC - S △ APQ 表示出四边形 BCPQ 的面积，求出 t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （ 3 ）画出图形，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E ，过 M 作 y 轴的垂线，与 EP 交于 F ，证明 △ PFM ≌△ QEP ，得到 MF = PE = t ， PF = QE =4-2 t ，得到点 M 的坐标，再代入二次函数表达式，求出 t 值，即可算出 M 的坐标． 【详解】 解：（ 1 ） ∵ 抛物线 y =- x 2 + bx + c 经过点 A （ 3 ， 0 ）， B （ -1 ， 0 ）， 则 ， 解得： ； （ 2 ）由（ 1 ）得：抛物线表达式为 y =- x 2 +2 x +3 ， C （ 0 ， 3 ）， A （ 3 ， 0 ）， ∴△ OAC 是等腰直角三角形，由点 P 的运动可知： AP = ，过点 P 作 PE ⊥ x 轴，垂足为 E ， ∴ AE = PE = = t ，即 E （ 3- t ， 0 ）， 又 Q （ -1+ t ， 0 ）， ∴ S 四边形 BCPQ = S △ ABC - S △ APQ = = ∵ 当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC = ， AB =4 ， ∴0≤ t ≤3 ， ∴ 当 t = =2 时，四边形 BCPQ 的面积最小，即为 =4 ； （ 3 ） ∵ 点 M 是线段 AC 上方的抛物线上的点， 如图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E ，过 M 作 y 轴的垂线，与 EP 交于 F ， ∵△ PMQ 是等腰直角三角形， PM = PQ ， ∠ MPQ =90° ， ∴∠ MPF +∠ QPE =90° ，又 ∠ MPF +∠ PMF =90° ， ∴∠ PMF =∠ QPE ， 在 △ PFM 和 △ QEP 中， ， ∴△ PFM ≌△ QEP （ AAS ）， ∴ MF = PE = t ， PF = QE =4-2 t ， ∴ EF =4-2 t + t =4- t ，又 OE =3- t ， ∴ 点 M 的坐标为（ 3-2 t ， 4- t ）， ∵ 点 M 在抛物线 y =- x 2 +2 x +3 上， ∴4- t =- （ 3-2 t ） 2 +2 （ 3-2 t ） +3 ， 解得： t = 或 （舍）， ∴ M 点的坐标为（ ， ）． 【点睛】 本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

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