题目

 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 答案：解：(1) 设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 故当t＝时，Smin＝10 海里， 此时v＝海里/时． 即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2) 设小艇与轮船在B处相遇， 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－ ∵ 0＜v≤30， ∴ 900－≤900，即－≤0，解得t≥. 又t＝时，v＝30海里/时．故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于. 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

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