题目

(本题满分15分)已知函数． (Ⅰ)若无极值点，但其导函数有零点，求的值； (Ⅱ)若有两个极值点，求的取值范围，并证明的极小值小于． 答案：解 (Ⅰ)首先，                                        ---------------1分                               ---------------3分 有零点而无极值点，表明该零点左右同号，故，且的由此可得                               ----------------6分 （Ⅱ）由题意，有两不同的正根，故. 解得：                                                ----------------8分 设的两根为，不妨设，因为在区间上， ，而在区间上，，故是的极小值点.-------10分 因在区间上是减函数，如能证明则更有                                                                                           ---------------13分 由韦达定理，， 令其中设 ，利用导数容易证明当时单调递减，而，因此，即的极小值                       -------15分 （Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明的极值均小于. 由于两个极值点是方程的两个正根，所以反过来， （用表示的关系式与此相同），这样 即，再证明该式小于是容易的（注意，下略）.

查看本题答案和解析