题目

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=t（Sn﹣an+1）（t＞0），且4a3是a1与2a2的等差中项． （Ⅰ）求t的值及数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 答案：考点： 数列递推式；数列的求和；等差数列的性质． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）当n≥2时，Sn=t（Sn﹣an+1），再写一式，两式相减，可得{an}是首项a1=t，公比等于t的等比数列，利用4a3是a1与2a2的等差中项，即可求得结论； （Ⅱ）由（Ⅰ），得bn=（2n+1）×2n，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Tn． 解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），所以a1=t， 当n≥2时，Sn=t（Sn﹣an+1）① Sn﹣1=t（Sn﹣1﹣an﹣1+1），② ①﹣②，得an=t•an﹣1，即． 故{an}是首项a1=t，公比等于t的等比数列，所以an=tn，…（4分） 故， 由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3=a1+2a2，即8t3=t+2t2， 因t＞0，整理得8t2﹣2t﹣1=0，解得t=或t=﹣（舍去）， 所以t=，故an=．…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得bn==（2n+1）×2n， 所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n﹣1）×2n﹣1+（2n+1）×2n，③ 2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，④ ③﹣④，得﹣Tn=3×2+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1      …（8分） =﹣2+2n+2﹣（2n+1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1…（11分） 所以Tn=2+（2n﹣1）×2n+1．…（12分） 点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，确定数列为等比数列是关键．

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