题目

如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．答案：【考点】切线的判定．【分析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【解答】（1）证明：连接CE，如图所示： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°． ∴∠BEC=90°． ∵点F为BC的中点， ∴EF=BF=CF． ∴∠FEC=∠FCE． ∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE． ∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°， ∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°． ∴EF是⊙O的切线．（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°， ∴△AOE是等边三角形． ∴∠AOE=60°． ∴∠COD=∠AOE=60°． ∵⊙O的半径为2， ∴OA=OC=2 在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°， ∴∠ODC=30°． ∴OD=2OC=4， ∴CD=．在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=． ∴AD==．　

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