题目

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测存款量与利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为4.8%.又假设银行吸收的存款能全部放贷出去.（1）若存款利率为x，x∈（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行支付给储户的利息h（x）；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大利益？（银行获得的利益=贷款所得的利息-支付给储户的利息） 答案：解:（1）由题意，存款量g(x)=kx2,x∈(0,0.048),银行应支付的利息h(x)=x·g(x)=kx3,x∈(0,0.048). （2）设银行可获收益为y，则y=0.048·kx2-kx3；y′=0.096·kx-3kx2. 令y′=0，即0.096·kx-3kx2=0.解得x=0或x=0.032.又当x∈（0，0.032）时，y′＞0，当x∈（0.032，0.048）时，y′＜0，∴y在（0，0.032）内单调递增,在（0.032，0.048）内单调递减； 故当x=0.032时，y在（0，0.048）内取得极大值，也是最大值. 故存款的利率为3.2%，银行可获得最大收益.

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