题目

如图（十五），抛物线（其中为正整数）与x轴相交于两个      不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC． （1）求的值；（2分） （2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求 线段DE长度的最大值；（4分） （3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）     答案： 解（1）由题意得＞0，解得＜ ∵为正整数，∴=1.                 ……2分 （2）由，得，.∴点A（－4，0），B（1，0）. 令，得，∴点C的坐标为（0，2）. ……3分 设直线AC的解析式为，则，∴  ∴.  ……4分      设E（m，)，∴D(m，m+2)     ∴DE=－(m+2) =m2－2m= 当m=－2时，DE的最大值是2 ……6分 （3）在RtΔAOC中，,在RtΔBOC中，     ∵，∴∠ACB=900. 又CO⊥AB，     ∴ ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO.   ……7分  ①若点M在轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，ΔMAN∽ΔBAC； 根据抛物线的对称性，当M(－3,2) 时，ΔMAN∽ΔABC；……8分  ②若点M在轴下方时，设N(n,0)，则M（n, ），          ∴ MN=n2+n－2 ,  AN=n+4        当时，MN=AN，  即n2+n－2=(n+4)，        n2+2n－8=0 ，∴ n1= －4(舍去), n2=2， ∴M（2，－3）     ……9分        当时，MN=2AN， 即n2+n－2=2(n+4)， n2－n－20=0 ，∴ n1= －4(舍去)，n2=5， ∴M（5，－18）        综上所述：存在M1（0，2）,M2(－3,2), M3（2，－3）,M4（5，－18）, 使得以点         A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.. 

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