题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点． （1）求证：F为BC边的中点； （2）判断四边形BDEF的形状，并说明你的理由； （3）若∠A=35°，求弧的度数． 答案：【考点】圆的综合题． 【分析】（1）连接DF，如图1，根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD=AD=CD，再利用圆周角定理得到∠DFC=90°，然后根据等腰三角形的性质可得BF=FC； （2）与（1）一样可得E为AC中点，则利用三角形中位线性质得DE=BC，DE∥BC，所以DE=CF，DE∥CF，于是可判断四边形BDEF是平行四边形； （2）连接OG，如图2，先利用等腰三角形的性质由CD=AD得到∠DCA═∠A=35°，则利用三角形外角性质得∠ODG=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠DOG=40°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到的度数． 【解答】（1）证明：连接DF，如图1， ∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴BD=AD=CD， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DFC=90°， ∴BF=FC， 即F是BC的中点； （2）解：四边形BDEF为平行四边形．理由如下： 与（1）一样可得E为AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC，DE∥BC， 而BF=CF， ∴DE=CF，DE∥CF， ∴四边形BDEF是平行四边形； （2）解：连接OG，如图2， ∵CD=AD， ∴∠DCA═∠A=35°， ∴∠ODG=∠A+∠DCA=70°， ∵OD=OG， ∴∠OGD=∠ODG=70°， ∴∠DOG=180°﹣2×70°=40°， 即的度数为40°． 【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质和平行四边形的判定方法．充分利用三角形中位线的性质．

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