题目

已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC； （2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数． 答案：【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论； （2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：，即， 解得：a=b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC=∠ACB=45°． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形， ∴AB=BC，BP=BF， ∴AP=CF， 在△APE和△CFE中， ∵， ∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC； （2）△ACE是直角三角形，理由是： 如图2，∵P为AB的中点， ∴PA=PB， ∵PB=PE， ∴PA=PE， ∴∠PAE=45°， 又∵∠BAC=45°， ∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形； （3）设CE交AB于G， ∵EP平分∠AEC，EP⊥AG， ∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a， ∵PE∥CF， ∴，即， 解得：a=b， ∴a：b=：1， 作GH⊥AC于H， ∵∠CAB=45°， ∴HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b， 又∵BG=2b﹣a=（2﹣）b， ∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC， ∴∠HCG=∠BCG， ∵PE∥CF， ∴∠PEG=∠BCG， ∴∠AEC=∠ACB=45°．

查看本题答案和解析