题目

（03年北京卷文）（15分）如图，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.   （Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；   （Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；   （Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系， 并证明你的结论. 答案：解析：（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. 证法二：连结A1C1，则A1C=A1B.  ∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，        ∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离.  在Rt△ADC中，AC=2CD=∴所求的距离解法二：设点D到平面ACC1的距离为，∵体积  即点D到平面ACC1的距离为.   （Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，      又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1. 

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