题目

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程． （2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，得， 又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1， ∴椭圆C的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0， 此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2， ∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0， ∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内， 由方程组，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ∵直线l与椭圆C有两个公共点， ∴△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0， 设E（x1，y1），F（x2，y2），则，， 设EF的中点G（x0，y0）， 则，， ∴G（，）， ∴|DG|==， |EF|==， ∵点D总位于以线段EF为直径的圆内， ∴|DG|＜对于k∈R恒成立， ∴， 化简，得2m2k2+7m2k2+3m2＜2k4+3k2+1， 整理，得， 而g（k）==1﹣≥1﹣=， 当且仅当k=0时，等号成立， ∴m2，由m＞0，．解得0＜m＜， ∴m的取值范围是（0，）． 　

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