题目

如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD的面积； ②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标． 答案：【解答】解： （1）由题意可得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴F（1，4）， ∵C（0，3），D（2，3）， ∴CD＝2，且CD∥x轴， ∵A（﹣1，0）， ∴S四边形ACFD＝S△ACD+S△FCD＝×2×3+×2×（4﹣3）＝4； ②∵点P在线段AB上， ∴∠DAQ不可能为直角， ∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°， i．当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD， ∵A（﹣1，0），D（2，3）， ∴直线AD解析式为y＝x+1， ∴可设直线DQ解析式为y＝﹣x+b′， 把D（2，3）代入可求得b′＝5， ∴直线DQ解析式为y＝﹣x+5， 联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或， ∴Q（1，4）； ii．当∠AQD＝90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线AQ的解析式为y＝k1x+b1， 把A、Q坐标代入可得，解得k1＝﹣（t﹣3）， 设直线DQ解析式为y＝k2x+b2，同理可求得k2＝﹣t， ∵AQ⊥DQ， ∴k1k2＝﹣1，即t（t﹣3）＝﹣1，解得t＝， 当t＝时，﹣t2+2t+3＝， 当t＝时，﹣t2+2t+3＝， ∴Q点坐标为（，）或（，）； 综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．

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