题目

(1)当你手握直角三角板,其斜边保持不动,将其直角顶点提起一点,则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角? (2)根据第(1)题,你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗?如果正确,请证明;如果错误,则利用下列三角形举出反例:△ABC中,, ,以∠BAC为例。 答案:(1)直角在平面内的正投影是钝角; (2)原猜想错误。∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C小于它本身。 解析:(1)记Rt△ABC,∠BAC=900,记直角顶点A在平面上的正投影为A1??,,且AA1=,则因为,所以∠BA1C为钝角,即直角在平面内的正投影是钝角; (2)原猜想错误。对于△ABC, ,记直角顶点A在平面上的正投影为A1??,设AA1=,则,令∠BAC=∠BA1C,则由余弦定理得: =,解之得:,即当点A离平面的距离是时,∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C等于它本身; 若取,则,从而, ,可知∠B A1C∠BAC,即∠BAC在一个平面内的正投影∠BA1C小于它本身。
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