题目

设椭圆过点，且左焦点为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ)当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足。证明：点Q总在某定直线上。 答案： 解：（Ⅰ）由题意：     解得： 所求的椭圆方程为    （Ⅱ） 方法一： 设点Q、A、B的坐标分别为（x, y）、（）、（） 由题设知均不为零，记， 则。 又    A，P，B，Q四点共线，从而 于是，，， 从而，…①；…② 又点A，B在椭圆C上，即…③；…④ ①+2并结合③、④得：4x+2y=4，即点Q（x, y）总在定直线2x+y-2=0上。 方法二： 设点Q、A、B的坐标分别为（x, y）、（）、（） 由题设知均不为零，， 又    A，P，B，Q四点共线，可设，于是 ，，…①；，…② 由于A（），B（）在椭圆C上，将①、②分别代入C的方程，整理得： …③ …④ ④-③得：8（2x+y-2）=0，∵，∴ 即点Q（x, y）总在定直线2x+y-2=0上。

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