题目

已知曲线E：ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交 于点A、B，且＝－2． （1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程； （2）若a＝b＝1，求直线AB的方程． 答案：解： （1）       设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M(，0)   故＝(－，2)，＝(x0－，y0)．  ……………………………………2分 因为＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)． 所以x0＝，y0＝－1．即A(，－1)．    ……………………………………4分 因为A，B都在曲线E上，所以解得a＝1，b＝． 所以曲线E的方程为x2＋＝1．           ……………………………………6分 （2）（法一）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x2＋y2＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即 设线段AB的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，－)． 所以＝(，－)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(－3x1，－3y1)． 因为OT⊥AB，所以×＝0，即3－4x1＋3x＋3y＝0． 因为x＋y＝1，所以x1＝，y1＝±． 当点A的坐标为(，－)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率 k＝－，所求直线AB的方程为y＝－x＋1； 当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，－1)，此时直线AB的斜率k＝， 所求直线AB的方程为y＝x－1．          ……………………………………16分 （法二）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x2＋y2＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即 因为点A，B在圆上，所以  由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3．所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0． 由x1＝，得y1＝±．（以下同方法一） （法三）如图，设AB中点为T． 则TM＝TA－MA＝AB，OM＝． 根据Rt△OTA和Rt△OTM，得 即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tanÐOMT＝＝． 所以kAB＝－或．所以直线AB的方程为y＝－x＋1或y＝x－1．

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