题目

已知函数，（其中e＝2.71828···是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，其中为的导函数。证明：对任意的，. 答案：解： (Ⅰ)f ′(x)＝(1－x－xlnx),x∈(0，＋∞)，     ......2 令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.   又ex>0，所以x∈(0,1)时，f ′(x)>0; x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0.         .                   ...............4 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．     ... .....6 (Ⅱ)证明：因为g(x)＝xf ′(x)． 所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)． 由(1)h(x)＝1－x－xlnx， 求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－2)，           ....................8 所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增； 当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减． 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.        ....................10 又当x∈(0，＋∞)时，0<<1， 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)<1＋e－2，即g(x)<1＋e－2.           

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