题目

（13分）、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，   （1）求证：AC⊥BC1；   （2）求证：AC 1//平面CDB1；   （3）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值． 答案：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； （3）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角， 在△CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴ ， ∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.

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