题目

如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E． （1）求证：DF⊥AC； （2）求tan∠E的值． 答案：（1）证明：如图，连接OC，CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB， ∵AC=BC， ∴AD=BD， ∵OB=OC， ∴OD是△ABC的中位线 ∴OD∥AC， ∵DF为⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∴DF⊥AC； （2）解：如图，连接BG， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BGC=90°， ∵∠EFC=90°=∠BGC， ∴EF∥BG， ∴∠CBG=∠E， Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5， ∴CD=4， S△ABC=， 6×4=5BG， BG=， 由勾股定理得：CG==， ∴tan∠CBG=tan∠E===． 　

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