题目

如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线 m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明FD=FE．答案：证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD=AE，CE=DA， ∴DE=AE+DA=BD+CE；（2）DE=BD+CE成立．理由：∵∠BDA=∠BAC=90°， ∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°， ∴∠DBA=∠CAE．在△BAD和△ACE中， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°， ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°， ∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°， ∴∠DBA=∠CAE．在△BAD和△ACE中， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD=AE，∠DBA=∠CAE． ∵∠ABF=∠CAF=60°， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE．在△BDF和△AEF中， ∴△DBF≌△EAF（SAS） ∴DF=EF．

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