题目

如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____． 答案： 【解析】 如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案． 【详解】 解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE， ∵EA=EB，∴∠A=∠EBA， ∵∠AEB=∠CEF， ∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G， ∵∠EFC=∠G+∠FCG， ∴∠G=∠FCG， ∴FC=FG， 设CE=EF=x，则AE=BE=11－x， ∴DE=8－（11－x）=x－3， ∴DF=x－（x－3）=3， ∵DG=DB=8， ∴FG=5，∴CF=5， 在Rt△CDF中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．

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