题目

已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2. (Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围; (Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求│A2B2│的值. 答案： 解（Ⅰ）依照设，得斜率都存在，因为过点 且与双曲线有两个交点,故方程组               ① 有两个不同的解，在方程组①中消去整理得    ② 若方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。故 即方程②的判别式为 设的斜率为因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组        ③ 有两个不同的解,在方程组③中消去y,  整理得 同理有④ 又因为l1⊥l2,所以有k1・k2=-1于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于 解得 ∴ (Ⅱ)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)、(0,-1).取A1(0,1)时,有 解得从而 将代人方程④得 记l2与双曲线的两交点为A2(x1,y1)、B2(x2,y2),则 │A2B2│2  =(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3[(x1+x2)2-4x1x2]. 由知 ∴ 即 当取A1(0,-1)时,由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性,知 所以L1过双曲线的一个顶点时，

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