题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 答案：（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）. 【解析】 （1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式； （2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S△BMD=，再求最值即可； （3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可. 【详解】 解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上， 令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6， ∴B（6，0），D（0，-6）， ∵点C和点D关于x轴对称， ∴C（0，6）， ∵抛物线经过点B和点C，代入， ，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）设点P坐标为（m，0）， 则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6）， ∴MN=-m+6=， ∴S△BMD=S△MNB+S△MND = = =-3（m-2）2+48 当m=2时，S△BMD最大=48， 此时点P的坐标为（2，0）； （3）存在， 由（2）可得：M（2，12），N（2，-4）， 设点Q的坐标为（0，n）， 当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图， 可得，此时点Q和点M的纵坐标相等， 即Q（0，12）； 当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图， 可得，此时点Q和点N的纵坐标相等， 即Q（0，-4）； 当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图， 分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F， ∵∠MQN=90°， ∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°， ∴∠NQF=∠QME， ∴△MEQ∽△QFN， ∴，即， 解得：n=或， ∴点Q（0，）或（0，）， 综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）. 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.

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