题目

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①an+1≥;②an≤M.其中n∈N*,M是与n无关的常数.（1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a4=2,S4=20，证明{Sn}∈W；（2）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,且{bn}∈W，求M的取值范围；（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}∈W，试证cn≤cn+1. 答案：(1)证明：设等差数列{an}的公差是d，则a1+3d=2,4a1+6d=20，解得a1=8,d=-2,所以Sn=na1+d=-n2+9n. 由-Sn+1=［(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)］=-1＜0,得＜Sn+1,适合条件①. 又Sn=-n2+9n=-(n)2+，所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn≤20，适合条件②.综上所述，{Sn}∈W. (2)解：因为bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n，所以当n≥3时，bn+1-bn＜0，此时数列{bn}单调递减；当n=1，2时，bn+1-bn＞0，即b1＜b2＜b3.因此数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7. (3)证明：假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立，由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck≥ck+1+1,即ck+1≤ck-1.因为≤ck+1,所以ck+2≤2ck+1-ck≤2(ck-1)-ck=ck-2. 由ck+2≤2ck+1-ck及ck＞ck+1,得ck+2＜2ck+1-ck+1=ck+1,故ck+2≤ck+1-1.因为≤ck+2,所以ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3.依次类推，可得ck+m≤ck-m(m∈N*). 又存在M，使ck≤M，总有M＜m，故有ck+m＜0，这与数列{cn}的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.

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