题目

如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第行，第列的数记作,，如. （I）写出的值；  (II) 若求的值；(只需写出结论) （III）设， (), 记数列的前项和为,求；并求正整数，使得对任意，均有． 2 4 8 14 … 6 10 16 24 … 12 18 26 36 … 20 28 38 50 … … … … … … 答案：   解：（I）， .    ……………4分 (II) I =20 , j =3.          …………8分 (III)位于从左上角到右下角的对角线上的方格内的数字组成的数列是 2，10，26，50， bn 是依(II)中排法的第2 n – 1组的中间一个数，即第n个数， 所以 bn = ( 2n – 1 ) 2 n– 2 ( n – 1 ) =  4 n2 – 4 n + 2=4n ( n -1) + 2，n = 1，2，3，…； 因为 所以， 故                                .…………10分 因为 ；当时，， 而 得， 所以当时，，综上对任意恒有，故．

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