题目

已知三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c,设O为S在底面ABC上的射影.求证:(1)O为△ABC的垂心;(2)O在△ABC内;(3)设SO=h,则++=. 答案：证明:(1)∵SA⊥SB,SA⊥SC,    ∴SA⊥平面SBC,BC平面SBC.    ∴SA⊥BC.    而AD是SA在平面ABC上的射影,    ∴AD⊥BC.    同理,可证AB⊥CF,AC⊥BE,故O为△ABC的垂心.     (2)证明△ABC为锐角三角形即可.不妨设a≥b≥c,则底面三角形ABC中,    AB=为最大,从而∠ACB为最大角.    用余弦定理求得    cos∠ACB=＞0,    ∴∠ACB为锐角,△ABC为锐角三角形.    故O在△ABC内.     (3)SB·SC=BC·SD,    故SD=,=+,    又SA·SD=AD·SO,    ∴===+=++=.

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