题目

如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，P是AC与BD的交点，M是CC的中点． （1）求证：AP⊥平面MBD； （2）求直线BM与平面MBD所成角的正弦值； （3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值． （请注意把答案填写在答题卡上） 答案：解：如图，以D为坐标原点，向量，，为单位正交基向量， 建立空间直角坐标系D—xyz．则P(，，0)，M(0，1，)． （1）=(－，，－1)，＝(1，1，0)， ＝(0，1，)，所以·＝0，·＝0． 所以⊥，⊥． 又因为BD∩DM＝D，所以AP⊥平面MBD； （2）由（1）可知，可取n=(1，－1，2)为平面MBD的一个法向量．又＝(－1，1，)， 所以cos<n，>＝＝－ ＝－ ． 所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为． （3）=(0，1，0)，=(－1，0，)．设n1＝(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，则 解得   即可取n1＝(1，0，2)． 由（1）可知，可取n=(1，－1，2)为平面MBD的一个法向量． 所以cos< n，n1>＝＝．所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为．

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