题目

已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，点为椭圆上一个动点，且的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若点的坐标为，点为椭圆上异于点的不同两点，且直线平分，求直线的斜率. 答案：．（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）由已知，，，得；（2）设直线的方程为，点，的坐标分别为，，联立椭圆方程，得，故，因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数，可得，由两点斜率公式可得. 试题解析：（1）,，由得，所以椭圆的方程为. （2）设点，的坐标分别为，，由题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，由得， ， 因为，所以 又因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数. 同理可得：， . 考点：直线与圆锥曲线的位置关系． 【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

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