题目

已知函数f(x)＝＋ax，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若a＝2，求函数f(x)的极小值； (3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围． 答案：解：(1)f′(x)＝＋a，由题意可得f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a≤－＝2－. ∵x∈(1，＋∞)，∴ln x∈(0，＋∞)， ∴当－＝0时，函数t＝2－的最小值为－， ∴a≤－，故实数a的取值范围为. (2)当a＝2时，f(x)＝＋2x，f′(x)＝， 令f′(x)＝0得2ln2x＋ln x－1＝0， 解得ln x＝或ln x＝－1(舍)，即x＝e. 当1<x<e时，f′(x)<0，当x>e时，f′(x)>0， ∴f(x)的极小值为f(e)＝＋2e＝4e. (3)将方程(2x－m)ln x＋x＝0两边同除以ln x得(2x－m)＋＝0，整理得＋2x＝m， 即函数g(x)＝＋2x的图象与函数y＝m的图象在(1，e]上有两个不同的交点． 由(2)可知，g(x)在上单调递减，在(e，e]上单调递增， g(e)＝4e，g(e)＝3e，当x→1时，→＋∞， ∴4e<m≤3e， 故实数m的取值范围为(4e，3e]．

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