题目

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论. 答案：解法一：（1）如图，连AC，设AC∩BD=O,AP与面BDD1B1交于点G，连OG，因为PC∥面BDD1B1，而BDD1B1∩面APC=OG，故OG∥PC，所以OG=PC=.又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，故∠AGO即为AP与面BDD1B1所成的角.在Rt△AOG中，tan∠AGO==3,即m=.故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.（2)依题意,要在A1C1上找一点Q,使 得D1Q⊥AP,可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点,因为D1O1⊥A1C1,D1O1⊥AA1,所以D1O1⊥面ACC1A1.又AP ACC1A1,故D1O1⊥AP.从而D1O1在平面AD1P上的射影与AP垂直.解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以=(-1,1,0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),又由·=0，·=0知，为平面BB1D1D的一个法向量.设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,则sinθ=cos(-θ)==依题意有=,解得m=,故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x ,则Q（x,1-x,1）,=(x,1-x,0). 依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP·=0-x+(1-x)=0x=.即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.点评：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.

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