题目

设函数. （I）若处的切线为，的值； （II）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证：在时， 答案：【解】（I）∵ ∴                                   …………1分 又的切线的斜率为 ∴   ∴                            …………2分 ∴切点为把切点代入切线方程得:                …………3分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知： ①当时，在上恒成立 在上是单调减函数                              …………4分 ②当时，令 解得：                       …………5分 当变化时，随变化情况如下表： 0 由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数  …………6分 综上所述：当时，的单调减区间为； 当时，的单调减区间为，单调增区间为   …………7分 （Ⅲ）当时，要证，即证 …………8分 令，只需证                                               …………9分 由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数 又  ∴ 在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点 设的零点为,则即     …………10分 由的单调性知： …………11分   当时，，为减函数 当时，，为增函数， 所以当时， 又，等号不成立∴                         …………12分

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